УДК 539.3

О ФРАКТАЛАХ В МЕХАНИКЕ

Извечным было стремление человека к созданию материалов с заданными свойствами. Однако только недавно им были заложены научные основы материаловедения, позволяющие это делать. Современное материаловедение питается многими древнейшими и сравнительно новыми науками. Это химия, физика, биология, экономика, металлургия, электроника, бионика и др. Каждая из таких наук образовала развивающуюся ветвь на "дереве" материаловедения. Многие из этих ветвей связаны между собой довольно крепко. Феноменологическую связь между строением (структурой) вещества, его физико-механическими свойствами и установлением основных параметров технологических процессов обработки материалов, в которых изменяются эти свойства, представляет собой механика. В последнее время в ней выделилось новое научное направление — механика композитов.

И хотя механика композитов, занимающаяся объектами, в которых материальные функции, описывающие определяющие соотношения, являются разрывными функциями координат, изучает не только проблемы материаловедения, наиболее значительные практические результаты достигнуты именно в этом направлении.

В развитии теории определяющих соотношений неоднородных материалов с учётом структурных уровней различного порядка первостепенную роль сыграли отечественные учёные А.А.Ильюшин [1,2] и В.А.Ломакин [3,4].

В механике композитов одной из важных задач является задача определения эффективных определяющих соотношений для некоторой однородной среды, решение краевой задачи для которой с теми же входными данными (граничными условиями, массовыми силами и т.п.), что и для задачи композиционной среды, по энергетической норме мало отличается от решения соответствующей задачи для композита. Для нахождения эффективных определяющих соотношений разработано много методов [5,6], часть из которых позволяет попутно находить с той или иной точностью микроперемещения, микронапряжения, микротемпературу и т.д., то есть перемещения, напряжения, температуру и т.д. в каждом компоненте композита.

Для постановки задачи механики композитов так же, как в любой области механики сплошной среды, требуется постулирование некоторой геометрии. Как правило, рассматривается евклидово пространство Rⁿ (n = 1,2,3), но иногда вводятся римановы пространства Vⁿ (n = 1,2,3) [1] или пространства Rⁿ (n > 3) [3].

Однако в композитах часто границы между его компонентами не могут быть четко определены. В результате химического, диффузионного взаимодействия компонентов и фазовых переходов, протекающих в них, эти границы приобретают сложную форму и не имеют в классическом смысле конечной меры (длины, площади и т.п.). В этом случае говорят о фрактальной природе границы.

Поясним это понятие на примере. Пусть на плоскости имеется некая сильно изломанная линия, имеющая "причудливую" форму. Будем измерять длину этой линии отрезками длины d. Тогда, если измеряемая нами изломанная линия имеет фрактальную природу (является фрактальной линией), то суммарная её длина L_d не стремится к конечному пределу, как это должно быть для "обычной" линии, а стремится к бесконечности по степенному закону

(1) L_d  = A d ^1-D ,

где А - некая константа размерности L^D (L - размерность длины), a D - постоянная (1 < D < 2), называемая фрактальной размерностью или размерностью Хаусдорфа-Безиковича [7]. Формулу (1) можно записать асимптотически при d ® 0:

(2) L_d  ~ d N(d) ,

где N - число отрезков необходимых для покрытия фрактальной линии. Если l - длина каждого такого отрезка (то есть расстояние между двумя точками по прямой), то

(3) N(d) ~ ( l / d ) ^D,

Из формулы (3) вытекает, что фрактальная размерность находится из выражения

(4) D = - ln N(d) / lnd

Из формулы (4), например, следует, что для множества Кантора, которое строится выбрасыванием среднего отрезка из каждого, полученного последовательным делением на три части предыдущего, начиная с отрезка [0; 1],

(5) D = - ln 2 / ln 3 = 0,6390...

Родоначальник теории фракталов Б.Мандельброт [8] предложил сначала определение фрактала в таком виде: "Фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа - Безиковича которого строго больше его топологической размерности". Затем он предложил заменить его следующим [9]: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому". Так что строгого и полного определения фракталов пока не существует. Тем не менее, фрактальный подход нашёл широкое распространение во многих областях науки (и даже искусства). Так, например, появилась теория фрактальных трещин [10], модель трения для фрактальных поверхностей [11], фрактальная механика древесно-полимерных композитов [12] и пр. Применение фракталов к материаловедению в какой-то степени освещено в монографии [13].

Разработана математическая теория перколяционных кластеров [14]. На основе этой теории создаются новые критерии прочности материалов, в том числе и композиционных [15].

Пожалуй, самое широкое распространение фрактальный подход нашёл в теории динамических систем. При детерминированном подходе, как правило, входные данные (в числе которых могут входить и начальные условия) полностью определяют решение. При этом для нелинейных систем существуют такие параметры, при которых возможны "пороговые" явления решения: ветвление, скачки, катастрофы и т.п. До достижения критических параметров траектории динамической системы могут притягиваться некоторым аттрактором (предельной точкой траектории). Но по достижении критического параметра картина резко меняется, и динамическая система начинает вести себя по-другому. Её траектории могут стремиться к некоторому циклу значений, которые будут повторяться вновь и вновь ("странные аттракторы"). Но, если параметры системы будут увеличиваться, эта последовательность начинает вести себя беспорядочно ("срывается к хаосу"). Она, хоть и определена динамическим законом и детерминированным начальным значением, но, тем не менее, непредсказуема. Так, например, ведут себя траектории движения малой планеты вокруг двух светил с равной массой (задача трёх тел в небесной механике).

Так ведёт себя и странный аттрактор, открытый американским метеорологом Э.Лоренцем [16]. Им была исследована система трёх дифференциальных уравнений, описывающих конвекцию газа или жидкости, движущихся внутри тора и подогреваемых снизу этого тора. Если большой радиус тора R и движение газа описывается углом j (отклонением этого радиуса от вертикали) с угловой скоростью w = , то для перепада температуры J выписывается следствие уравнения неразрывности

(6) r = r₀ ( 1 - aJ ) ,

уравнение теплопроводности

и уравнение движения жидкости как твёрдого целого с моментом инерции J

где h - коэффициент внутреннего трения,

l - теплопроводность, C_p - теплоёмкость, h - коэффициент теплоотдачи окружающей среды с температурой J_вн..

После линеаризации системы (6), (7), (8) получается система обыкновенных дифференциальных уравнений

где

При малых значениях параметра r решение системы (10) является устойчивым, а единственное состояние равновесия (асимптотически устойчивая особая точка) — начало координат (x = у = z = 0). При возрастании параметра r начало координат становится неустойчивой особой точкой и появляются ещё две особые точки, являющиеся до некоторого значения параметра r = r* асимптотически устойчивыми. Но после момента бифуркации (r > r*) все три состояния равновесия становятся неустойчивыми, и возникают стохастические колебания.

Сценарий проникновения в хаос описан и для итерационных систем [17]. Сюда можно отнести, например, модель роста популяции Ферхюльста. Он заключается в следующем. Если x₀ - начальная численность популяции, а x_n - её численность через n лет, то коэффициент прироста R называют относительным изменением численности за год:

Если эта величина постоянная (R = r ? const), то закон роста популяции, как следует из (12), выглядит так

(13) x_n+1 = ( 1 + r ) x_n

Ферхюльст в 1845 году для ограничения экспоненциального роста популяции предложил считать коэффициент прироста R пропорциональным величине X - x_n, где Х - некоторое максимально возможное значение популяции (можно положить Х = 1). Тогда закон роста популяции будет иметь вид:

(14) x_n+1 = ( 1 + r ) x_n - x_n²

Из (14) видно, что при x₀ = 0 и x₀ = 1 численность популяции не изменяется, причём состояние равновесия x₀ = 0 не является устойчивым. Значение x₀ = 1 устойчиво при 0 < r < 2. Однако именно при r > 2 поведение системы (14) становится интересным. При 2 < r < V 6 появляются два аттрактора (устойчивых неподвижных точек системы), затем с ростом параметра r число этих аттракторов начинает удваиваться, но при r = 2,570... процесс (14) перестаёт быть периодическим, и поведение системы становится хаотическим. Интересным является тот факт, что, если r_n - значение параметра роста, при котором колебания периода 2ⁿ теряют устойчивость, и устойчивыми становятся колебания периода 2 ⁿ⁺¹, то отношение

сходится к некоторому значению

(16) lim d_n = d ? 4,699...

Но, пожалуй, самой знаменитой итерационной схемой стала схема простой итерации

(17) x_n+1 = x_n² + с ,

где c - некоторое комплексное число, досконально изученная Б.Мандельбротом. При c = 0 система (17) имеет два устойчивых аттрактора: х = 0 и х = oo . Граница между точками притяжения этих аттракторов — окружность радиуса 1. Однако число аттракторов и границы между точками их притяжения (множества Жюлиа) меняются весьма причудливым, но закономерным образом при задании комплексных чисел с. Мандельброт построил множество таких значений с на комплексной плоскости (множество Мандельброта), при каждом конкретном выборе которых точно определено, какого вида множество Жюлиа ему соответствует [17].

М.Барнслей [18,19] разработал теорию фрактальных итерационных функциональных систем, с помощью которых осуществил моделирование произвольных образов, широко использующееся в современной машинной графике. С некоторыми " фокусами" поведения итерационных процессов мы сталкивались и при решении задач механики деформируемого твёрдого тела. Например, при решении задач методом СН ЭВМ [1,20] в качестве примера была рассмотрена одномерная задача [21] на отрезке 0 <= х <= 1:

где s = F(du/dx) - нелинейные определяющие соотношения, f(x) - известная функция. Также заданы граничные условия

Если задать аппроксимирующий оператор в виде

то решение линейной задачи

имеет вид

Таким образом, для итерационного процесса метода СН ЭВМ, принимая для каждого n

получим

В качестве примера рассмотрим определяющее соотношение в виде

и будем считать

Тогда точное решение задачи имеет вид

в то время как итерационная процедура СН ЭВМ даёт

При E₀ = 1 метод не сходится, и мы имеем два аттрактора. При E₀ = i их будет четыре. Если же E₀ = V 1 таких аттракторов будет n.

Ещё одним приложением теории фракталов к механике могут служить дифференциальные операторы дробного (фрактального) порядка [22] в линейной теории вязкоупругости. Но об этом следует поговорить отдельно. Автор благодарен РФФИ (грант 96-01-01233) за финансовую поддержку.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 272 с.
2. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990. 310 с.
3. Ломакин В. А. Статистические задачи механики твёрдых деформируемых тел. М.: Наука, 1970. 139 с.
4. Ломакин В. А. Теория упругости неоднородных тел. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1976. 368 с.
5. Сендецки Дж. (ред.) Механика композиционных материалов. М.: Мир, 1978. 566 с.
6. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Мир, 1984. 336 с.
7. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991. 262 с.
8. Mandelbrot В.В. The Fractal Geometry of Nature. San-Francisco: Freeman, 1982. 427 p.
9. Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества // В "Фракталы в физике". М.: Мир, 1988. 672 с.
10. Бородич Ф.М. Энергия разрушения фрактальной трещины, распространяющейся в бетоне или горной породе // Докл. АН. 1992. Т.325. N 3. С.1138-1141.
11. Бородич Ф.М., Онищенко Д.А. Фрактальная шероховатость в задачах контакта и трения (простейшие модели) // Трение и износ. 1993. Т. 14. N 3. С. 452-459.
12. Кулак М.И. Структурные аспекты фрактальной механики древесно-полимерных композитов // Изв. АН БССР. Сер. физ.-техн. наук. 1991. N 2. С.18-22.
13. Иванова B.C., Баланкин А.С., Бунин И.Ж., Оксогоев А.А. Синергетика и фракталы в материаловедении. М.: Наука, 1994. 384 с.
14. Меньшиков М.В., Молчанов С.А., Сидоренко А.Ф. Теория перколяции и некоторые приложения // Итоги науки и техники. Сер. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика. М.: ВИНИТИ, 1986. Т.24. С.53-110.
15. Наймарк О.Б., Давыдова М.М. Топологический (фрактальный анализ кинетики накопления дефектов при оценке прочности углеродных композитов // Механика композитных материалов. 1994. Т.ЗО. N 1. С. 19-30.
16. Лоренц Э. Детерминированное непериодическое течение // В "Странные аттракторы" (перевод с англ. под ред. Синая Я.Г. и Шильникова Л.И.). -М.: Мир, 1981. С.88-116.
17. Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. М.: Мир, 1993. 176 с.
18. Barnsley M.F. Fractal everywhere. Boston: Acad. Press, 1988.
19. Barnsley M.F. Fractal Image Compression // Notices. 1996. V.43. N 6. P.657-661.
20. Ильюшин А.А. Об одной модели, поясняющей аппроксимальный метод СН ЭВМ в теории пластичности // В "Упругость и неупругость". М.: Изд-во Моск. ун-та, 1971. Вып. 1. С.52-58.
21. Победря Б.Е. Математическая теория нелинейной вязкоупругости // В "Упругость и неупругость". М.: Изд-во Моск. ун-та, 1973. Вып.З. С.95-173.
22. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Вышэйша школа, 1987.