в задаче о нагружении шины внутренним давлением. Значения даны в узлах,
расположенных на внутренней и внешней поверхности и отнесены к действующему
давлению. Число узлов по толщине равно 12, а в другом направлении - 81.
Узлы с номерами 10-20 расположены между точками E и F , а 41-49
- между G и H. Исторически первый тест - это решение краевой задачи
теории упругости для однородного материала с упругими (безразмерными) постоянными: 
, 
,
что соответствует 
, 
(все
величины, имеющие размерность напряжения, отнесены к внутреннему давлению).
Эти данные показывают точность вычислений, так как значения нормального
к поверхности напряжения должны равняться внешнему давлению на внутренней
поверхности ( =1 ) и нулю на внешней. Первая колонка таблицы содержит данные,
полученные при решении линейной задачи, последующие - нелинейной и соответствуют
первому, пятому и пятнадцатому шагам нагружения. Расчеты сделаны на сетке
15х81.
На рис. 4a,
4b и 4c приведены компоненты напряжения, полученные при решении
однородной краевой задачи теории упругости в линейной и нелинейной постановках.
Эти напряжения взяты вдоль серединной линии меридионального сечения. Значения 
, 
,
отнесены к значению внутреннего давления. Точке 0.89 соответствует
граница крепления шины на ободе колеса. На рисунках "лин" и "нелин" обозначают,
получено решение в геометрически линейной или нелинейной постановках. При
этом внутренне давление задано так чтобы деформация не превышала 10 процентов.
Различие в напряжениях наблюдается в областях, где деформации достигают
своего максимума. Различие результатов приводит к выводу о необходимости
использования геометрически нелинейной постановки задачи.
, 
,
что соответствует 
, 
.
Для кордных нитей каркаса 
, 
и для кордных нитей брекера 
, 
Рис. 4а - 
Рис. 4b - 
Рис. 4с - 
Безразмерное внутренне
давление - 0,05. Упругие размерные константы отнесены к удвоенному модулю
сдвига резины. Направляющие угли каркасных нитей составляют 0 градусов
относительно меридиана шины, а направляющие углы брекерных нитей 
градусов.
Объемная концентрация для волокон каркаса взята 0.3, для волокон брекера
- 0.2. Осредненные упругие константы для каркаса и брекера получились равными:
для каркаса: 
, 
, 
, 
,
, 
, 
, 
, 
;
, 
, 
, 
, 
, 
,
, 
, 
.
,
и 
вдоль
линий AB, FL, CD, GI и HN (см. рис. 2), где точки 0 и 0,15 - границы области
каркаса, а 0,32 и 0,51 - брекера. Результаты показывают, что наибольшие
значения напряжения находятся в области брекера и каркаса.
в
области, где присутствует только каркас. Значение напряжение 
максимально в области брекера (рис. 5b), а значение 
- в области каркаса (рис. 5c).
Рис. 5а -
Рис. 5b - 
Рис. 5с - 
На рис. 6a
и
6b в направление AB (см. рис. 2) сравниваются значения 
(i=1,2)
полученные при решении краевых задач об осадке шины о жесткую поверхность
для плоского деформированного (поверхность - плоскость) и осесимметричного
состояний (цилиндрическая жесткая поверхность). Эти задачи являются модельными
и призваны приближенно оценить НДС в меридиональном сечении, находящемся
в центре площадки контакта. На фигурах графику 1 соответствует решение
осесимметричной задачи с реальным радиусом шины, графику 2 - с пятикратным
увеличением радиуса шины, а графику 3 - задачи для плоского деформированного
состояния, где 
-
нормаль к внутренней поверхности. Видно, что для шины внутренним диаметром,
увеличенным в 5 раз, решения, полученные в рамках плоско деформированного
и осесимметричного состояний, близки. Поэтому такое решение близко и к
решению трехмерной задачи. Однако, для реального диаметра колеса из графиков
можно сделать вывод, что решение задачи об осадке, полученное в предположении
об осесимметричности НДС, не является достаточно точным. Для достоверного
решения задачи об осадке шины о твердую поверхность необходимо решать трехмерную
краевую задачу.
Рис. 6а -
:
_____
3, _ _ _ 2, ------- 1
Рис. 6 - 
:
____
3, _ _ _ 2, -------1
Рассмотрим третий тест, в котором сравниваются решения геометрически нелинейной задачи об упругой однородной шине под действием внутреннего давления. Этот тест был призван проверить трехмерную программу. В таблицах 2, 3 сравниваются напряжения, полученные решением этой задачи как трехмерной и как осесимметричной. Напряжения приведены вдоль линии AB на рис. 2. Значения напряжения отнесены к значению давления. Расчеты сделаны на сетке9х9х65. Сравнение показывает совпадение расчетов.
Tаблица
2
|
1 шаг инеаризации
|
|||||
 |
 |
 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
-9,39E-01 -8,25E-01 -7,62E-01 -6,32E-01 -8,34E-01 -2,97E-01 3,81E-02 -1,42E-01 |
-9,35E-01 -8,21E-01 -7,58E-01 -6,28E-01 -8,30E-01 -2,93E-01 4,14E-02 -1,38E-01 |
3,40E+00 3,50E+00 3,56E+00 3,65E+00 3,63E+00 3,87E+00 4,05E+00 4,13E+00 |
3,41E+00 3,51E+00 3,57E+00 3,66E+00 3,64E+00 3,87E+00 4,06E+00 4,14E+00 |
8,95E-01 1,31E+00 1,66E+00 2,03E+00 2,33E+00 2,94E+00 3,70E+00 4,57E+00 |
8,97E-01 1,32E+00 1,66E+00 2,03E+00 2,33E+00 2,94E+00 3,70E+00 4,57E+00 |
Таблица
3.
|
5 шаг линеаризации
|
|||||
 |
 |
 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
-9,12E-01 -7,94E-01 -7,28E-01 -5,94E-01 -7,87E-01 -2,46E-01 9,01E-02 -7,26E-02 |
-9,08E-01 -7,90E-01 -7,24E-01 -5,90E-01 -7,84E-01 -2,42E-01 9,32E-02 -6,94E-02 |
3,44E+00 3,54E+00 3,60E+00 3,68E+00 3,65E+00 3,89E+00 4,08E+00 4,16E+00 |
3,45E+00 3,54E+00 3,60E+00 3,68E+00 3,66E+00 3,90E+00 4,08E+00 4,16E+00 |
1,26E+00 1,67E+00 2,00E+00 2,36E+00 2,64E+00 3,25E+00 4,01E+00 4,92E+00 |
1,26E+00 1,67E+00 2,01E+00 2,36E+00 2,65E+00 3,26E+00 4,01E+00 4,92E+00 |